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【国际数学竞赛】任意多边形面积计算公式

时间: 2023-08-21浏览次数：

对于任意一个多边形，如果已知其各个顶点的坐标，那么这个多边形的面积为：,其中。举个例子(FromWikipedia)，比如下图这样一个奇奇怪怪的五边形，其顶点坐标为根据上述公式，只需要把各点坐标带入上述公式即得：是不是感觉很神奇，也不知道对不对，这个大家也可以把上述面积分解验算一下。上述公式就是S

对于任意一个多边形，如果已知其各个顶点的坐标 $A_{1}(x_1,y_1),A_2(x_2,y_2),\\ldots,A_n(x_n,y_n)$ ，那么这个多边形的面积为：

$S=\\frac{1}{2}|\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\\right)|$ ,

其中 $x_{n+1}=x_1,y_{n+1}=y_1$ 。

举个例子(From Wikipedia)，比如下图这样一个奇奇怪怪的五边形，其顶点坐标为 $A_1(3,4),A_2(5,11),A_3(12,8),A_4(9,5),A_5(5,6)$

根据上述公式，只需要把各点坐标带入上述公式即得：

$\\begin{aligned}S=& \\frac{1}{2}| 3 \ imes 11+5 \ imes 8+12 \ imes 5+9 \ imes 6+5 \ imes 4 \\\\ &-4 \ imes 5-11 \ imes 12-8 \ imes 9-5 \ imes 5-6 \ imes 3 | \\\\=& \\frac{60}{2}=30.\\square \\end{aligned}$

是不是感觉很神奇，也不知道对不对，这个大家也可以把上述面积分解验算一下。

上述公式就是Shoelace Theorem，鞋带定理？！

为什么叫Shoelace Theorem，因为这个公式的运算很像鞋带，我们来看看三个顶点时的公式计算， $S=\\frac{1}{2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}|$ ，就如下图所示：

对于任意 $n$ 边形，我们也可以类型的把坐标依次写下来，然后就可以根据公式算出这个多边形的面积了。不过这里有两点需要注意：

（1）对于任意多边形，我们看到的只是各个顶点的坐标，是没有标 $A_1,A_2,\\ldots,A_n$ 的，所以这里我们只需要任意指定一个顶点为 $A_1$ ，然后按照顺时针或者逆时针进行标号就可以了；

（2）因为我们是任意指定一个点为 $A_1$ ，且顺时针或者逆时针都可以，所以有时候按照公式计算出来是为负值。但是面积是一个正值，因此我们公式中是有一个绝对值的；

接下去我们就证明一下Shoelace Theorem，不过在证明之前，我们铺垫一点向量叉乘(cross product)的知识。(如果清楚可以直接看公式证明过程。)

之前我们有介绍过向量点乘(dot product)， $\\vec{a}\\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}|\\cdot|\\vec{b}|\\cdot \\cos<\\vec{a},\\vec{b}>$ 。

注：上式左边是向量的点乘符号，右边是数乘符号。

这里我们在定义一个向量叉乘， $\\vec{a}\ imes \\vec{b}=|\\vec{a}|\\cdot|\\vec{b}|\\cdot \\sin<\\vec{a},\\vec{b}> \\cdot \\vec{n}$ ，

注，向量叉乘得到的是一个新的向量。

其中 $\\vec{n}$ 是一个单位向量，其方向是垂直 $\\vec{a},\\vec{b}$ 向量所成平面的法向量方向。这里我们可以根据右手来判断，首先用右手四指(除大拇指外)指向 $\\vec{a}$ ，然后弯曲转向 $\\vec{b}$ ，那么大拇指指向的就是 $\\vec{a}\ imes \\vec{b}$ 方向，如下图

如果是 $\\vec{b}\ imes \\vec{a}$ ,那么方向就跟 $\\vec{a}\ imes \\vec{b}$ 刚好相反。

那么向量叉乘怎么算呢？

这里我们就直接给出计算公式了。

如果 $\\vec{a}=a_1\\vec{i}+a_2\\vec{j}+a_3\\vec{k}$ , $\\vec{b}=b_1\\vec{i}+b_2\\vec{j}+b_3\\vec{k}$ ,

那么， $\\vec{a}\ imes \\vec{b}=\\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\right) \\vec{i}-\\left(a_{1}b_{3}-b_{1}a_{3}\\right) \\vec{j}+\\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\\right) \\vec{k}$ 。

如果学过矩阵行列式，我们可以用行列式表示：

$\\vec{a}\ imes \\vec{b}=\\left|\\begin{array}{ccc}\\vec{i}& \\vec{j}& \\vec{k}\\\\ a_{1}& a_{2}& a_{3}\\\\ b_{1}& b_{2}& b_{3}\\end{array}\\right|$ .

说了这么多的向量叉乘，那么跟面积有什么关系呢？

我们在《三角形面积公式知多少？》一文中提过一个三角形面积公式：

$S=\\frac{1}{2}ab\\sin C$ 。

比对一下叉乘公式，我们发现 $|\\vec{a}\ imes \\vec{b}|=||\\vec{a}|\\cdot|\\vec{b}|\\cdot \\sin<\\vec{a},\\vec{b}> |$ 就是以 $\\vec{a},\\vec{b}$ 两个向量所构成的平行四边形面积。再除以2，就是以 $\\vec{a},\\vec{b}$ 构成的三角形面积了。

【1】证明三角形时成立

已知平面坐标系上三个顶点坐标 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$ ，我们可以把这三个顶点放到三维空间中，并把点 $A$ 移动到原点 $A'=(0,0,0)$ 。那么， $B\\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, 0\\right)$ ， $C\\left(x_{3}-x_{1}, y_{3}-y_{1}, 0\\right)$ 。

于是，根据向量叉乘的几何意义可知：

$S_{\ riangle ABC}=\\frac{|\\vec{AB}\ imes \\vec{AC}|}{2}$

$=\\frac{1}{2}\\left\\|\\left(0 \\quad 0 \\quad x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}\\right)\\right\\|$

$=\\frac{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}}{2}$ 。 $\\square$

注：
（1）把二维平面上的三角形放到了三维空间中，面积保持不变；且把点 $A$ 移动到了原点，这样计算就方便很多。
（2）为了接下去证明的方便，我们这里没有加绝对值，因为如果计算出来是负值，只需要改变一下计算顺序就可以了。

【2】假设 $n$ 边形时成立，推导 $(n+1)$ 边形成立

已知条件 $n$ 边形时成立， $S_{A_1A_2\\ldots A_n}=\\frac{1}{2}\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\\right)$ ,

其中 $x_{n+1}=x_1,y_{n+1}=y_1$ 。

对于顶点为 $A_1A_2\\ldots A_{n+1}$ 的 $(n+1)$ 边形，可以分为 $n$ 边形与一个三角形之和

$S_{A_1A_2\\ldots A_{n+1}}=S_{A_1A_2\\ldots A_n}+S_{A_1A_{n}A_{n+1}}$ ,

$S_{A_1A_2\\ldots A_n}=\\frac{1}{2}\\sum_{i=1}^{n}\\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\\right)$ ,

$S_{A_1A_{n}A_{n+1}}=\\frac{1}{2}\\left(x_{1}y_{n}+x_{n}y_{n+1}+x_{n+1}y_{1}-x_{1}y_{n+1}-x_{n}y_{1}-x_{n+1}y_{n}\\right)$ ,

于是，

$S_{A_1A_2\\ldots A_{n+1}}=\\frac{1}{2}((x_1y_2+\\cdots+x_ny_1)-(y_1x_2+\\cdots+y_nx_1)+\\\\(x_1y_n+x_ny_{n+1}+x_{n+1}y_1)-(y_1x_n+y_nx_{n+1}+y_{n+1}x_1))$